प्रश्न 1. ∆ABC और ∆DRC एकही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि और D भुजा BC के एक ही और स्थित है (देखिए आकृति)| बदि AD बताने पर BC को P पर प्रतिचोद को तो दाइए कि-
प्रश्न 2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि- (i) AD, रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है। (ii) AD, कोण A को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 3. एक त्रिभुज ABC को दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमश: एक दूसरे प्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि- (i) ∆ABM ≅ ∆PQN (ii) ∆ABC ≅ ∆PQR.
प्रश्न 4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींचकर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।
प्रश्न 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है. ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु O पर प्रतिभेद करते हैं। A और O को जोथिए। दर्शाए कि-
प्रश्न 2. ∆ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति) दहिए कि ∆ABC एक समद्धि आहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।
प्रश्न 3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AR पर क्रमशः शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर है।
प्रश्न 4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीघलम्ब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति) वाइए कि-
प्रश्न 5. ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्धि बाहु त्रिभुज है (देखिए आवृति) दशदिए कि ∠ABD = ∠ACD है।
प्रश्न 6. ABC एक समदिवाह त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदूत D क इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए आकृति) दशहिए कि ∠BCD एक समकोण है।
प्रश्न 7. ABC एक समकोण त्रिभुजई, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8. दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
प्रश्न 1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति)। दाइए कि ∆ABC ≅ ∆ABD है। BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
प्रश्न 2. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि- (i) ∆ABD = ∆BAC (ii) BD = AC (iii) ∠ABD = ∠BAC
प्रश्न 3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड है (देखिए आकृति)। दशाइए कि CD रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन समानर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेच करता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है।
प्रश्न 5. रेखा l ∠A को समद्विभाजित करती है B और रेखा l पर स्थित कोई बिन्दु है। BP और BQ. ∠A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिए आकृति) दांडा कि (i) ∆APB ≅ ∆AQB (ii) BP = BQ, अर्थात् बिन्दु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
प्रश्न 6. आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दाइए कि BC = DE है।
प्रश्न 7. AB एक रेखाखण्ड है और इसका मध्य-बिन्दु है। D और E रेखाखण्ड AB के एकही और स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि-
प्रश्न 8. एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-विन्दु है। C को M से मिलाकर D इस प्रकार बहाया गया है कि DM = CM है। बिन्दुको बिन्दु से मिला दिया जाता है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि-
(i) ∆AMC ≅ ∆BMD (ii) ∠DBC एक समकोण है (iii) ∆DBC ≅ ∆ACB (iv) CM = 12 AB.
प्रश्न 1. आकृति में, ∆PQR की भुजाओं OP और RQ को क्रमश: बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है, और तो ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2 आकृति में, ∠x = 62° और ∠XYZ = 54 है। यदि YO और ZO क्रमशः ∠XYZ. और ∠XYZ के सपद्विभाजक हैं, तो ∠OZY, ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. आकृति में, यदि AB || DE ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. आकृति में यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° हैं, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. आकृति में, यदि PQ ⊥ PS. PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।
प्रान 6. आकृति में, ∆PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR तथा ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = 1/2 ∠QPR है।
प्रश्न 1. पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में x और । के मान ज्ञात कीजिए और फिर दाइए कि AB || CD है।
प्रश्न 2. पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. आकृति में, यदि ” AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. पाठ्य पुस्तक में दी गाई आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है. तो x और y ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में, PQ और RS दो दर्पण है जो एक दूसरे के समानर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनूदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।
प्रश्न 1. आकृति 61 में रेखाएँ AB और CD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2. आकृति 6.2 में रेखाएँ XY और MN बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 3. आकृति 6.3 में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है. तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।
प्रश्न 4. आकृति 6.4 में, यदि x + y = w + z है,तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
प्रश्न 5. आकृति में 6.5 में, POQ एक सरल रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लष्य है। किरणों OP और OR के बीच OS एक अन्य किरण आकृति है। सिद्ध कीजिए- ∠ROS = 1/2 ∠QOS – ∠POS).
प्रश्न 6. यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कञ्चन असत्य हैं? अपने उतारों के लिए कारण दीजिए। (i) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है। (ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं। (iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है। (iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। (v) आकृति 5.1 में, यदि AB = PQ और PQ= XY है, तो AB = XY होगा।
प्रश्न 2. निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद है.जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इनें कैसे परिभाषित कर पाएंगे? (i) समांतर रेखाएँ (ii) लम्ब रेखाएँ (i) रेखाखंड (iv) वृत्त की त्रिज्या (v) वर्ग।
प्रश्न 3. नीचे दी ईदो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए (i) दो भिन्न बिन्दु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा C बिन्दु ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता (ii) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिन्दु विद्यमान है कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं। क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द है? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं? क्या ये चूक्लिड की अविधारणाओं से प्राप्त होती हैं? स्पष्ट कीजिए।
प्रश्न 4. यदि दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिन्दु C ऐसा स्थित है कि AC = RC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = 12 AB है। एक आकृति खींचकर इसे स्पष्ट कीजिए।
प्रश्न 5. प्रश्न 4 में C रेखाखंड AB का एक मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-विन्दु होता है।
प्रश्न 6. आकृति 5.4 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
प्रश्न 7. यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से संबंधित नहीं है।)
प्रश्न 1. दो चारों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए (i) x + y = 4 (ii) x – y = 2 (iii) y = 3x (iv) 3 = 2x + y
प्रश्न 2. बिंदु (2,14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं, और क्यों?
प्रश्न 3. बदि बिन्दासमीकरण 3y = ax + 7 के आलेखा पर स्थित है, तो का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया Rs 8 है और आके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया Rs 5 है यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया Rs y हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख बीबिए।
प्रश्न 5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों में से सही समीकरण का चयन कीजिए
प्रश्न 6. एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की दूरी के अनुक्रमानुपाती है। इस कधन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बलमात्रक लेकर इसका आलेख बाँधिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी (i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञान कीजिए।
प्रश्न 7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में Rs 100 अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप अका अंशदान Rs x और Rs y मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
प्रश्न 8. अमेरिका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में नापमान सेरिलायस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है: F = (9/5) C + 32 (i) मेल्मिषस को x – अक्ष और फारेनहाइट को y – अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खोंचने है। (ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? (iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा? (iv) यदि तापमान 0°C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F है, तो सेलिायम में तापमान क्या होगा? (v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1. निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है और क्यों? y = 3x + 5 का (i) एक अद्वितीय हल है (ii) केवल दो हल हैं (iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
प्रश्न 2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए। (i) 2x + y = 7 (ii) πx + y = 9 (iii) x = 4y
प्रश्न 3. अताइए कि निम्नलिखित हालों में कौन-कौन समीकरण x – 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं है- (i) (0, 2) (ii) (2, 0) (iii) (4, 0) (iv) √2.4√2 (v) (1, 1)
प्रश्न 4. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।
