प्रश्न 1. सुधीर ने एक कोट 4500 रु. मूल्य के खरीदे। उसे बिक्री कर के 6 प्रतिशत अतिरिक्त देने पड़े तो बताइए कि सुधीर ने कोट खरीदने में कुल कितने रुपये लगाए ?
प्रश्न 2. एक दुकानदार ने अपनी दुकान से 3 महीने की बिक्री के बाद 4500 रु. वैट के रूप में जमा किया। यदि वैट की दर 4 प्रतिशत हो तो यह बताइए कि उसे कितनी मूल राशि का सामान बेचा?
प्रश्न 3. रजिया ने एक दवा विक्रेता के यहाँ से 625 रु. अंकित मूल्य की दवाई खरीदी और उस पर 12 रु. 50 पैसे अतिरिक्त कर दिया। बताइए कि अतिरिक्त कर की दर प्रतिशत क्या थी?
प्रश्न 4. मिश्रधन ज्ञात कीजिए जब ब्याज की गणना प्रतिवर्ष की जाती है- अ. 7500 रु. पर 2 वर्ष के लिए 6 प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से। ब. 25000 रु. पर 3 वर्ष के लिए 8 प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से।
प्रश्न 5. चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए- अ. 6000 रु. पर 3 वर्ष के लिए 10 प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से। ब. 4000 रु. पर 2 वर्ष के लिए 5 प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से।
प्रश्न 6. वह धन ज्ञात कीजिए जो 8 प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष में 7290 रु. हो जाता है।
प्रश्न 7. कितने प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से 4000 रु. 2 वर्ष में 5290 रु. हो जाता है।
प्रश्न 8. स्वाति एक जमीन का टुकड़ा खरीदने हेतु बैंक से 40960 रु. कर्ज 12½% वार्षिक दर 1½ वर्ष के लिए कर्ज देती है और ब्याज का संयोजन अर्द्धवार्षिक होता है तो स्वाति को कितनी राशि देनी पड़ेगी और उनके द्वारा भुगतान किया गया ब्याज की राशि भी ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 9. रवि ने 32,000 रु. बैंक में जमा किया। उस बैंक द्वारा जमा की गई राशि पर ब्याज के संयोजन तिमाही घोषित हो तो और ब्याज की दर से 5 प्रतिशत वार्षिक हो तो रवि को महीने बाद कितनी राशि प्राप्त होगी।
प्रश्न 10. 5 प्रतिशत वार्षिक दर से बढ़ते हुए वर्ष 2005 के अंत में एक शहर की जनसंख्या 44.10 हो गई। बताइए वर्ष 2003 में इस शहर की जनसंख्या कितनी थी?
प्रश्न 11. एक जनित्र (Generator) का वर्तमान मूल्य 42000 रु. है। यदि उसका अवमूल्यन प्रतिशत वार्षिक हो तो 2 वर्ष बाद उस जनित्र का मूल्य क्या होगा?
प्रश्न 1. रोहित एक पुराना अलमीरा 6700 रुपये में खरीदकर उस पर 300 रु. उसके मरम्मत में खर्च करता है। उसके बाद उसे वह 7500 रु० में बेच देता है। उसका लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2. प्रत्येक के लिए x, y, z का मान ज्ञात करें।
प्रश्न 3. एक बिजली के पंखे को 510 रु. में बेचने पर एक दुकानदार को 15 प्रतिशत की हानि उठानी पड़ती है, बताइए दुकानदार ने पंखा कितने में खरीदा? यदि वह पंखे को 630 रु. में बेचे तो उसे कितने प्रतिशत लाभ या हानि होगी?
प्रश्न 4. मुकेश स्पोर्ट्स की दुकान से एक फुटबॉल गेंद 20 प्रतिशत के बट्टे पर 192 रु. में खरीदता है तो फुटबाल गेंद का अंकित मूल्य क्या है?
प्रश्न 5. एक दुकानदार एक जोड़ी जूते पर 1250 रु. मूल्य अंकित करके ग्राहक को खरीदने पर 20 प्रतिशत की छूट देता है। छूट देने के बाद भी दुकानदार को 25 प्रतिशत का लाभ प्राप्त होता है, तो जूते का क्रय मूल्य क्या है?
प्रश्न 6. सोहन द्वारा एक डिपार्टमेंटल स्टोर से खरीदी गई सामग्री का बिल निम्नानुसार है। बिल की कुल राशि ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7. राखी को 250 रु. मूल्य की खेल सामग्री तथा 220 रु. मूल्य के चमड़े का बैग क्रमश 6 प्रतिशत और 12 प्रतिशत बिक्री कर देकर खरीदना पड़ा हो, तो बताइए उसने कुल कितने रुपये चुकाए ?
प्रश्न 1. 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 cm दूर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा-युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापकर लिखिए।
रचना के चरण :
1. 60 cm त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा जिसका केंद्र O हैं।
2. केंद्र O से 10 cm की दूरी पर एक बिंदु P लिया ।
3. PO को मिलाया और समदिभाजित किया ।
4. बिंदु M को केन्द्र मानकर और MO त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा जो दिए हुए वृत को माना Q और R बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता हैं।
5. PQ और PR को मिलाया । तब PQ और PR दो अभीष्ट स्पर्श रेखाए है।
प्रश्न 2. 4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
रचना के चरण :
1. एक बिंदु O लेकर क्रमश: 4cm और 6cm के दो संकेन्द्रीय वृत खींचा ।
2. 2. 6cm त्रिज्या वाले वृत एक बिंदु P अंकित करते हैं।
3. PO को मिलाकर इसे समादिभाजित किया । माना PO का मध्य बिंदु M हैं।
4. बिंदु Mको केंद्र मानकर और MO त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा जो 4cm त्रिज्या वाले वृत को दो भिन्न बिंदुओं माना Q और R पर प्रतिच्छेद करता हैं।
5. PQ और PR को मिलाया । तब 4cm त्रिज्या वाले वृत पर 6cm त्रिज्या के संकेंद्रीय वृत के बिंदु P से PQ और PR दो अभीष्ट रेखाएँ हैं।
प्रश्न 3. 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
रचना के चरण :
1. केंद्र O वाले और 3cm त्रिज्या लेकर एक वृत खींचकर इसके बढ़ाए गए व्यास पर केंद्र O से 7 cm की दूरी पर दो बिंदु P और Q अंकित किया ।
2. PO और QD के समदिभाजक खींचा । माना इनके मध्य बिंदु क्रमश: M और N हैं।
3. बिंदु M को केन्द्र मानकर MO त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा जो दिए हुए वृत को बिंदुओं R और S पर प्रतिच्छेद करता हैं।
4. PR और PS को मिलाया । तब PR और PS स्पर्श रेखाएँ हैं।
5. पुन: N को केन्द्र माना ON त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा जो दिए हुए वृत को T और U बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता हैं।
6. QT और QU को मिलाया । तब QT और QU पुन: अन्य दो स्पर्श रेखा युग्म प्राप्त हुए । इस प्रकार बिंदु P और Q से क्रमश: दो युग्म स्पर्श रेखाएँ PR और PS तथा QT और QU अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
प्रश्न 4. 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झकी हों।
रचना के चरण :
1. 5cm त्रिज्या लेकर बिंदु O को केंद्र मानकर एक वृत खींचा ।
2. कोई व्यास AOB खींचा ।
3. केंद्र O पर < AOC = 600 बनाया जहाँ बिंदु C वृत पर हैं।
4. अब हम XB⊥OB और YC⊥OC खींचते हैं। माना XB और YC परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब PB और PC अभीष्ट दो स्पर्श रेखाएँ हैं, जो परस्प्र 600 के कोण पर झुकी हैं।
प्रश्न 5. 8 cm लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
रचना के चरण :
1. एक रेखाखंड AB = 8cm खींचा ।
2. A को केंद्र मानकर 4cm त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा ।
3. पुन: B को केंद्र मानकर 3cm त्रिज्या लेकर एक अन्य वृत खींचा ।
4. रेखाखंड AB का समदिभाजक खींचा जो AB को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता हैं। स्पष्टत: बिंदु M रेखाखंड AB का मध्यबिंदु हैं।
3. M को केंद्र मानकर MA त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा जो केंद्र B वाले वृत को C और D बिंदुओं पर तथा केंद्र A वाले वृत को E और F बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता हैं।
4. अब AC और AD मिलाया । इसी प्रकार BE को मिलाया तब केंद्र A से केंद्र B वाले वृत पर दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ AC और AD हैं।
प्रश्न 6. ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा ∠B = 90° है। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C व D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
रचना के चरण :
1. एक रेखाखंड BC = 8cm खींचा ।
2. बिंदु B पर 900 कोण परकार और पटरी (scale) का उपयोग करके बनाया ।
3. किरण BX में बिंदु B को केन्द्र मानकर 6cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो माना किरण BX को बिंदु A प्रतिच्छेद करता हैं।
4. AC को मिलाया । इस प्रकार हमें ABC एक समाकोण त्रिभुज प्राप्त् हुआ ।
5. BD⊥AC खींचा ।
6. बिंदुओं B,C,D से होकर जाने वाले एक वृत खींचा । जिसका केन्द्र E हैं।
7. AE को मिलाकर इसका समदिभाजक खींचा जो AE बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता हैं।
8. बिंदु M का केंद्र मानकर और MA या ME त्रिज्या लकर एक वृत खींचा जो बिंदुओं B,C,D से होकर जाने वाले वृत को माना T बिंदु पर प्रतिच्छेद करता हैं।
9. अब AT को मिलाया ।
प्रश्न 7. किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
रचना के चरण :
1. किसी चुडी की सहायाता से एक वृत खींचा ।
2. AB और CD को असमांतर जीवाएँ लेकर इनके लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेद बिंदु को चुडी कि सहायता से खींचे गये वृत का केन्द्र O मान लिया ।
3. इस वृत के बाहर एक बिंदु P अंकित किया और OP को मिलाया ।
4. अब OP का लंब समद्विभाजक खींचा जो इसे माना बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है।
5. बिंदु M को केंन्द्र मानकर और OP या OM त्रिज्या लेकर एक वृत खींचा जो दिए हुए वृत को माना Q और R दो विभिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता हैं।
6. PQ और PR को मिलाया । तब PQ और PR ही अभीष्ट स्पर्श रेखा युग्म हैं।
BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2
प्रश्न 1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर (i) एक ही दिन जाएँगे? (ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे? (iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?
प्रश्न 2. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ सम्भावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं, इस सारणी को पूरा कीजिए।
प्रश्न 3. एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंद काली हैं। यदि इसमें से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यदृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता 2/3 है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5
प्रश्न 1. व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लम्बे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के व्रक पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लम्बाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का द्रव्यमान 8.88 g/cm3 हैं।
प्रश्न 2. एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (r का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)
प्रश्न 3. एक टंकी, जिसके आन्तरिक मापन 150 cm × 120 cm × 110 cm हैं, में 129600 cm3 पानी है। इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का 117 पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm × 7.5 cm × 6.5 cm है तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे?
प्रश्न 4. किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 km2 है तो दर्शाइए कि कल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लम्बी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है।
प्रश्न 5. टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लम्बे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों को सिद्ध कीजिए।
प्रश्न 7. शंकु के एक छिन्नक के लिए, स्पष्ट संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का सूत्र सिद्ध कीजिए।
BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4
प्रश्न 1. बिन्दुओं A (2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2. x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी है।
प्रश्न 3. बिन्दुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. कृष्णानगर के एक सेकेण्डरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखण्ड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं। (i) A को मूलबिन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (ii) यदि मूलबिन्दु C हो तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे? साथ ही उपर्युक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
प्रश्न 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B(1, 5) और C (7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि AD/AB=AE/AC=1/4 है। ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ΔABC के क्षेत्रफल से कीजिए।
प्रश्न 7. मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C (1, 4)एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। (i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो। (iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो। (iv) आप क्या देखते हैं? [नोट – वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।] (v) यदि A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8. बिन्दुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6
प्रश्न 1. दी गई आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि QS/SR=PQ/PR है।
प्रश्न 2. दी गई आकृति में D, ∆ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि BD ⊥ AC, DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि- (i) DM2 = DN . MC (ii) DN2 = DM . AN
प्रश्न 3. दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 + 2BC . BD है।
प्रश्न 4. दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 – 2BC . BD है।
प्रश्न 5. दी गई आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि-
प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
प्रश्न 7. दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्द P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) ∆APC ~ ∆DPB (ii) AP . PB = CP . DP
प्रश्न 8. दी गई आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) ∆PAC ~ ∆PDB (ii) PA . PB = PC . PD
प्रश्न 9. दी गई आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BDCD=ABAC है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
प्रश्न 10. नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे तो 12 सेकण्ड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5
प्रश्न 1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी खिए। (i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm (iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
प्रश्न 2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण Pसमकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है।
प्रश्न 3. दी गई आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि- (i) AB2 = BC . BD (ii) AC2 = BC . DC (iii) AD2 = BD . CD
प्रश्न 4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है।
प्रश्न 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। यदि AB2 = 2AC2 हो तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
प्रश्न 6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के योग के बराबर होता है।
प्रश्न 8. दी गई आकृति में ∆ABC के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि- (i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2 (ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
प्रश्न 9. 10 m लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 10. 18 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खुंटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 m है।
प्रश्न 11. एक हवाईजहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाईजहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी प्रति घण्टा की चाल से उड़ता है। 112 घण्टे के बाद दोनों हवाईजहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
प्रश्न 12. दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 m हो तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 13. एक ∆ABC जिसका ∠C समकोण है की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिन्दु D और E पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।
प्रश्न 14. किसी ∆ABC के शीर्ष A से भुजा BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है। सिद्ध कीजिए कि 2AB2 = 2AC2 + BC2 है।
प्रश्न 15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = 1/3 BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD2 = 7AB2 है।
प्रश्न 16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
प्रश्न 17. सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए : ∆ABC में, AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है। कोण B है- (A) 120° (B) 60° (C) 90° (D) 45°
